Question

下列命題正確的是（　　）

A．定義在（a，b）上的函數(shù)f（x），若存在x₁?x₂∈（a，b），使得x₁＜x₂時(shí)有f（x₁）＞f（x₂），那么f（x）在（a，b）為增函數(shù)

B．若奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)

C．若f（x）是R上的增函數(shù)，則F（x）=f（x）-f（-x）為R上的增函數(shù)

D．存在實(shí)數(shù)m，使f（x）=x²+mx+1為奇函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)增函數(shù)的定義判斷A是否正確；
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷B是否正確；
利用增函數(shù)的定義及兩個(gè)增函數(shù)的和函數(shù)是增函數(shù)來(lái)判斷C是否正確；
利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷D是否正確．

解答：解：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，A錯(cuò)誤；
函數(shù) f（x）=x³是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，但在（-∞，0）也為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
∵f（x）是R上的增函數(shù)，則 f（-x）為減函數(shù)，-f（-x）為增函數(shù)，∴F（x）=f（x）-f（-x）為R上的增函數(shù)，故C正確；
∵若f（x）=x²+mx+1為奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0，即x²+1=0，∴D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．