Question

已知函數(shù)f（x）=x+x³，x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若a，b∈R，且a+b＞0，試比較f（a）+f（b）與0的大小．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可作出判斷；
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）f（x）的單調(diào)性可得f（a）＞f（-b），判斷f（x）的奇偶性，根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可得f（-b）與f（b）的關(guān)系，由此即可作出判斷；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x+x³，x∈R是增函數(shù)，證明如下：
因?yàn)閒′（x）=1+3x²＞0恒成立，
所以函數(shù)f（x）=x+x³，x∈R是增函數(shù)．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）知f（a）＞f（-b），
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
又f（-x）=（-x）+（-x）³=-x-x³=-（x+x³）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
于是有f（-b）=-f（b），
所以f（a）＞-f（b），從而f（a）+f（b）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．