Question

12．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax（a∈R）．
（ I）當(dāng)a=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）作曲線y=f（x）的切線，求切線的方程；
（ II）討論函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性；
（ III）當(dāng)0＜y＜x＜1時(shí)，證明：lnx-lny＞ln（x-y）+1．

Answer 1

分析 （ I）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)P（x₀，ln（1+x₀）），求出切線斜率，即可求切線的方程；
（ II）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性；
（ III）證明lnx-lny＞x-y，同時(shí)0＜x-y＜1，有M（x-y）=-ln（x-y）+（x-y）-1＞0，即x-y＞ln（x-y）+1，即可證明：lnx-lny＞ln（x-y）+1．

解答 （ I）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln（1+x），設(shè)切點(diǎn)P（x₀，ln（1+x₀）），
∵$f'（x）=\frac{1}{1+x}$，∴$\frac{1}{{1+{x_0}}}=\frac{{ln（{x_0}+1）}}{{{x_0}+1}}$，即x₀=e-1，
∴切線的斜率$k=\frac{1}{e}$，切線的方程為x-ey+1=0；
（ II）解：∵$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a$，且當(dāng)[0，+∞）時(shí)有$\frac{1}{1+x}∈（{0，1}]$，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a≥0$在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a≥1時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-a≤0$在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，$\frac{1-a}{a}$）上單調(diào)遞増，在$（\frac{1-a}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減；
（ III）證明：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的最大值為M（a）=-lna+a-1．
∵$M'（a）=\frac{a-1}{a}＜0$在（0，1）上恒成立，
∴M（a）=-lna+a-1在（0，1）上單調(diào)遞減，即M（a）=-lna+a-1＞0，
∴-lny+y-1＞-lnx+x-1，即lnx-lny＞x-y，
同時(shí)0＜x-y＜1，有M（x-y）=-ln（x-y）+（x-y）-1＞0，即x-y＞ln（x-y）+1，
∴當(dāng)0＜y＜x＜1時(shí)，有l(wèi)nx-lny＞ln（x-y）+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，并利用單調(diào)性比較大�。�考查了分類討論、構(gòu)造、推理計(jì)算能力．