Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3在區(qū)間（-∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=x²-ax+3在區(qū)間（-∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=2，進(jìn)而得到a的值；
（2）分析f（x）在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到f（x）在區(qū)間[0，3]上的最值，可得f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得f（x）在區(qū)間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-ax+3在區(qū)間（-∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=2，
即$\frac{a}{2}$=2，
∴a=4．…（3分）
（2）∵f（x）=x²-4x+3在[0，2]上遞減，在[2，3]上遞增，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最小值-1，
又由f（0）=3，f（3）=0得：
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取最大值3，
∴f（x）在區(qū)間[0，3]上值域?yàn)閇-1，3]．…（7分）
（3）令f（x）=x²-4x+3=3，則x=0，或x=4，
故當(dāng)0＜m≤4時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（0）=3；
當(dāng)m＞4時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，m]（m＞0）上的最大值g（m）=f（m）=m²-4m+3，
綜上可得：g（m）=$\left\{\begin{array}{l}3，0＜m≤4\\{m}^{2}-4m+3，m＞4\end{array}\right.$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．