Question

11．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$，記z=x+2y的最小值為a，則（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 利用線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最小值a，然后利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可．

解答 解：x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$表示的可行域如圖：
z=x+2y化為：y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}z$，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}z$經(jīng)過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值為a，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2x+y=1}\end{array}\right.$解得A（1，-1），a=1-2=-1，
（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式為：${C}_{6}^{r}（\frac{x}{2}）^{6-r}（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{6-r}{x}^{6-\frac{3r}{2}}$，展開式中x³項(xiàng)，可得r=2．
系數(shù)為：${C}_{6}^{2}×\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{15}{16}$．
故答案為：$\frac{15}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．