Question

9．已知函數(shù)y=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q．
（1）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若[2，3]⊆Q，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，a＞0，Q⊆（-∞，2）∪（3，+∞），即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[2，3]上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題即可解決．

解答 解：（1）由題意，a＞0，Q⊆（-∞，2）∪（3，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4+2≤0}\\{9a-6+2≤0}\end{array}\right.$，∴a≤$\frac{4}{9}$；
∵a＞0
∴a的取值范圍是0＜a≤$\frac{4}{9}$．
（2）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，則說明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[2，3]上恒成立，
即不等式a＞$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$在x∈[2，3]上恒成立，
令u=$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，則只需a＞u_max即可．
又u=$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
當x∈[2，3]時，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，從而x=2時，u_max=$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．想辦法分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵．