Question

7．已知a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出，
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合零點定理即可求出a的范圍；
（3）由0＜x₁＜$\frac{1}{a}$，只要證明：f（$\frac{2}{a}$-x₁）＞0就可以得出結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)：g（x）=f（$\frac{2}{a}$-x）-f（x），利用導(dǎo)數(shù)即可證明．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），其導(dǎo)數(shù)f'（x）=$\frac{1}{x}$-a．
①當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）是減函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
此時f（$\frac{1}{a}$）為函數(shù)f（x）的最大值，
當(dāng)f（$\frac{1}{a}$）≤0時，f（x）最多有一個零點，
∴f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜1，
此時，$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}$，且f（$\frac{1}{e}$）=-1-$\frac{a}{e}$+1=-$\frac{a}{c}$＜0，
f（$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}$）=2-2lna-$\frac{{e}^{2}}{a}$+1=3-2lna-$\frac{{e}^{2}}{a}$（0＜a＜1），
令F（a）=3-2lna-$\frac{{e}^{2}}{a}$，則F'（x）=-$\frac{2}{a}$+$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-2a}{{a}^{2}}$＞0，
∴F（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴F（a）＜F（1）=3-e²＜0，即f（$\frac{{e}^{2}}{{a}^{2}}$）＜0，
∴a的取值范圍是（0，1）．
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）是減函數(shù)．
分析：∵0＜x₁＜$\frac{1}{a}$，∴$\frac{2}{a}$-x₁＞$\frac{1}{a}$．只要證明：f（$\frac{2}{a}$-x₁）＞0就可以得出結(jié)論．
下面給出證明：構(gòu)造函數(shù)：g（x）=f（$\frac{2}{a}$-x）-f（x）=ln（$\frac{2}{a}$-x）-a（$\frac{2}{a}$-x）-（lnx-ax）（0＜x≤$\frac{1}{a}$），
則g'（x）=$\frac{1}{x-\frac{2}{a}}$-$\frac{1}{x}$+2a=$\frac{2a（x-\frac{1}{a}）^{2}}{x（x-\frac{2}{a}）}$＜0，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$]上為減函數(shù)，
∵0＜x₁＜$\frac{1}{a}$，則g（x₁）＞g（$\frac{1}{a}$）=0，
又f（x₁）=0，
于是f（$\frac{2}{a}$-x₁）=ln（$\frac{2}{a}$-x₁）-a（$\frac{2}{a}$-x₁）+1-f（x₁）=g（x₁）＞0．
又f（x₂）=0，
由（1）可知x₂＞$\frac{2}{a}$-x₁，即x₁+x₂＞$\frac{2}{a}$＞2．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及零點定理應(yīng)用與構(gòu)造函數(shù)等知識點，屬較難題．