設(shè)函數(shù)F(x)=ax3+bx2+cx(abc),其圖象在x=1, x=M處的切線的斜率分別為0,-a,

(1)求證:0≤<1;

(2)若函數(shù)F(x)的遞增區(qū)間為[s,t],求|s-t|的取值范圍;?

(3)若當xk時,(k是與a,b,c無關(guān)的常數(shù)),恒有F′(x)+a<0,試求k的最小值.

(1)證明:f′(x)=ax2+bx+c,由題意,得f′(1)=a+b+c=0,                                      ①?

f′(M)=aM2+bM+c=-a,                                                                                 ②?

abc,得3aa+b+c3c.∴a<0,c>0.?

由①得c=-a-b,代入abc,得ab<-a-b.?

a<0得-<1.                                                                                            ?

c=-a-b代入②得,aM2+bM-b=0.                                                                     ③?

由③有實根,得Δ=b2+4AB≥0,?

即()2+4≥0.?

解得≤-4或≥0.                                                                                                 ?

綜上,0≤<1.                                                                                                        ?

(2)解:由f′(x)=ax2+bx+c的判別式Δ=b2-4AC>0得f′(x)=ax2+bx+c=0有兩個不等實根,?

設(shè)為x1,x2,?

f′(1)=0知x1=1是方程的根,?

x2=--1<0<x1.?

xx2xx1時,f′(x)<0;當x2xx1時,f′(x)>0.                                                 ?

∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[x2,x1].?

∴|s-T|=|x1-x2|=2+∈[2,3).                                                                            ?

(3)解:由f′(x)+a<0,即ax2+bx+c+a<0,即ax2+bx-b<0,?

a<0,∴x2+x->0.?

設(shè)g()=(x-1)·+x2對0≤<1恒成立.                                                          ?

解之,得xx.                                                                 ?

k.因此k的最小值為.


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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
a+1
x
 
(a>0)
,g(x)=4-x,已知滿足f(x)=g(x)的x有且只有一個.
(Ⅰ)求a的值;
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m
x
>1
對一切x>0恒成立,求m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)h(x)=k-f(x)-g(x)(k∈R)在[m,n]上的值域為[m,n](其中n>m>0),求k的取值范圍.

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bx
,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0,
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(2)用陰影標出曲線y=f(x)與此切線以及x軸所圍成的圖形,并求此圖形的面積.

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ax-1x+1
;其中a∈R

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(1)求f(x)的解析式;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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