Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值為8．
（1）確定常數(shù)k，求a_n；
（2）求數(shù)列b_n=a_n+2ⁿ的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)當(dāng)n=k時(shí)S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn取得最大值可知k=4，當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1），分組求和，進(jìn)而相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n=k時(shí)S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn取得最大值，
此時(shí)8=-$\frac{1}{2}$k²+k²，即k²=16，
又∵k∈N₊，
∴k=4，
∴S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（-$\frac{1}{2}$n²+4n）-[-$\frac{1}{2}$n（-1）²+4（n-1）]
=-n+$\frac{9}{2}$，
又∵a₁=S₁=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$滿足上式，
∴a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n+2ⁿ=-n+$\frac{9}{2}$+2ⁿ，
∴T_n=$\frac{9}{2}$n-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{9}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+2ⁿ⁺¹-2
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{2}$n²+4n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分組法求數(shù)列的和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．