Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=a．當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n∈N^*．
（1）求a的值；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且c_n=3^n-1+a₅，求使不等式4T_n＞S_n成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）通過在S_n²=3n²a_n+S_n-1²中令n=2、3，結(jié)合a₁=a計(jì)算可知a₂=12-2a、a₃=3+2a，利用a₁+a₃=2a₂計(jì)算可知a=3，驗(yàn)證其是否成立即可；
（2）通過（1）可知c_n=3^n-1+15，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算可知T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+15n，問題轉(zhuǎn)化為解不等式4（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+15n）＞$\frac{3n（n-1）}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)S_n²=3n²a_n+S_n-1²，
∴（a+a₂）²=12a₂+a²，$（a+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}$=27a₃-（a+a₂）²，
∵a_n≠0，
∴a₂=12-2a，a₃=3+2a，
∵a₁+a₃=2a₂，
∴2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=3時(shí)a_n=3n，S_n=$\frac{3n（n-1）}{2}$、S_n-1=$\frac{3n（n+1）}{2}$滿足S_n²=3n²a_n+S_n-1²；
（2）由（1）可知c_n=3^n-1+15，
∴T_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+15n，
∵4T_n＞S_n，
∴4（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+15n）＞$\frac{3n（n-1）}{2}$，
整理得：2•3ⁿ+60n-2＞165，即2•3ⁿ+60n＞167，
∵f（n）=2•3ⁿ+60n為增函數(shù)，且f（2）＜167、f（3）＞167，
∴滿足條件的n的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．