Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2x+1}{x}$，數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=2，{a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}）（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過代入$f（x）=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$可知a_n+1-a_n=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）及等差數(shù)列的求和公式，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$，
∴${a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}）=2+{a_n}$，即a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=\frac{（2+2n）n}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$
=$（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．