Question

（2014•宿州三模）己知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，且?x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，則方程f（x）+2x2f′（x）=7的解所在的區(qū)間為（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

Answer 1

C

【解析】

試題分析：由單調函數(shù)的性質，可得f（x）﹣lnx為定值，可以設t=f（x）﹣lnx，則f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，可得f（x）的解析式，從而可化簡方程，由二分法分析可得函數(shù)的零點所在的區(qū)間，結合函數(shù)的零點與方程的根的關系，即可得答案．

【解析】
根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=1，

又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，

則f（x）﹣lnx為定值，

設t=f（x）﹣lnx，

則f（x）=lnx+t，

又由f（t）=1，

即lnt+t=1，

解得，t=1，

則f（x）=lnx+1，f′（x）=，

∴f（x）+2x2f′（x）=lnx+2x=6，

即lnx+2x﹣6=0，

則方程f（x）+2x2f′（x）=6的解可轉化成方程lnx+2x﹣6=0的解，

令h（x）=lnx+2x﹣6，

而h（2）=ln2﹣2＜0，h（3）=ln3﹣1＞0，

∴方程lnx+2x﹣6=0的解所在區(qū)間為（2，3），

∴方程f（x）+2x2f′（x）=7的解所在的區(qū)間為（2，3）．

故選C．