如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E 是側(cè)棱PD上一點(diǎn)，且PB∥平面EAC．
（Ⅰ）求證：E是PD的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求證：AE⊥平面PCD．
分析：（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點(diǎn)，由于E是側(cè)棱PD上一點(diǎn)，且PB∥平面EAC，利用線面平行的性質(zhì)定理，可得線線平行，從而可得E是PD的中點(diǎn)；
（2）先證明CD⊥側(cè)面PAD，從而可得面PDC⊥側(cè)面PAD，進(jìn)而可證AE⊥平面PCD．
解答：證明：（1）連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點(diǎn)
∵E是側(cè)棱PD上一點(diǎn)，且PB∥平面EAC，
又PB?平面PBD，EO=平面EAC∩平面PBD，
∴PB∥EO．
∵O為為BD的中點(diǎn)
∴E是PD的中點(diǎn)；
（2）∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥側(cè)面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥側(cè)面PAD
正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行，線面垂直的證明方法．考查學(xué)生的空間想象能力，識(shí)圖的能力，嚴(yán)密的邏輯思維能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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