Question

17．已知a為實數(shù)，若函數(shù)f（x）=|x²+ax+2|-x²在區(qū)間（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為[-8，0）．

Answer 1

分析 將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：f（x）=|x²+ax+2|-x²=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{{x}^{2}+ax+2≥0}\\{-2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}^{2}+ax+2＜0}\end{array}\right.$，
設(shè)x²+ax+2=0的兩個根分別為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{x≥{x}_{2}或x≤{x}_{1}}\\{-2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}_{1}＜x＜{x}_{2}}\end{array}\right.$，
∵當(dāng)x≥x₂時，函數(shù)f（x）=ax+2，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴a＜0，
當(dāng)x₁＜x＜x₂時，拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-a}{2×（-2）}$=-$\frac{a}{4}$．
若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，則-$\frac{a}{4}$≤2，得-8≤a＜0．
若f（x）在區(qū)間（-∞，-1）遞減，
則x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$≥-1，
即-a-$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥-2，
則$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥a-2，
∵-8≤a＜0，
∴$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥a-2恒成立，
綜上-8≤a＜0，
故答案為：[-8，0）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的不等式結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．