Question

【題目】如圖，已知點為拋物線，點為焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側.記的面積為.

（1）求的值及拋物線的標準方程；

（2）求的最小值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），.

【解析】

(1)由焦點坐標確定p的值和準線方程即可；

(2)設出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結合韋達定理求得面積的表達式，最后結合均值不等式的結論即可求得的最小值和點G的坐標.

(1)由題意可得，則，拋物線方程為，準線方程為.

(2)設，

設直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：

，故：，

，

設點C的坐標為，由重心坐標公式可得：

，，

令可得：，則.即，

由斜率公式可得：，

直線AC的方程為：，

令可得：，

故，

且，

由于，代入上式可得：，

由可得，則，

則

.

當且僅當，即，時等號成立.

此時，，則點G的坐標為.