【題目】如圖兩個同心球，球心均為點，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦，其中兩點在小球上，兩點在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當四面體的體積達到最大值時，此時異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

首先判斷出正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為，內(nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例.判斷當四面體體積最大時，的位置關系，作出異面直線所成的角，解直角三角形求得.

設正方體的邊長為，則其內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，所以內(nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例. 依題意最長為，最長為小球的直徑.由于三角形的面積，若為定值，則時面積取得最大值.畫出圖像如下圖所示，其中分別是所在正方形的中心，是正方體內(nèi)切球與外接球的球心..由于，故此時四面體的體積最大.

由于，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是異面直線和所成的角.所以由于，設是的中點，則，所以，所以.

故選：A

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A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

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