Question

13、從1，2，…，30這30個自然數(shù)中，每次取不同的三個數(shù)，使這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

Answer 1

分析：把所給的30個數(shù)字根據(jù)被3除的余數(shù)分類，包括余數(shù)是1的，余數(shù)是2的，和正好能夠整除的，按照三個不同的集合，取數(shù)字包括四種情況，根據(jù)分類加法原理得到結果．

解答：解：設A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…，29}，
C={3，6，9，…，30}組成三類數(shù)集，
有以下四類符合題意：
①A，B，C中各取一個數(shù)，有C₁₀¹C₁₀¹C₁₀¹種；
②僅在A中取3個數(shù)，有C₁₀³種；
③僅在B中取3個數(shù)，有C₁₀³種；
④僅在C中取3個數(shù)，有C₁₀³種．
由加法原理得共有C₁₀¹•C₁₀¹•C₁₀¹+3C₁₀³=1360種．
即共有1360個數(shù)字滿足三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，

點評：按元素的性質(zhì)分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對于某幾個數(shù)的和能被某數(shù)整除一類的問題，通常是將整數(shù)分類，凡余數(shù)相同者歸同一類．