Question

6．設(shè)a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是2^a與2^b的等比中項，求a²+2b²的取值范圍．

Answer 1

分析 由等比中項求出a+b=1，從而a²+2b²=a²+2（1-a）²=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，由此利用a＞0，b＞0，a+b=1，能求出a²+2b²的取值范圍．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是2^a與2^b的等比中項，
∴$\sqrt{{2}^{a}•{2}^}$=$\sqrt{{2}^{a+b}}$=$\sqrt{2}$，
∴a+b=1，∴b=1-a，
∴a²+2b²=a²+2（1-a）²=3a²-4a+2=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$≥$\frac{2}{3}$．
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴0＜a＜1，
∴當a=$\frac{2}{3}$時，（a²+2b²）_min=$\frac{2}{3}$；當a→0時，（a²+2b²）_max→3×（-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$=2．
∴a²+2b²的取值范圍是[$\frac{2}{3}$，2）．

點評 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查等比中項、二次函數(shù)、配方法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．