Question

3．已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0，求
（1）函數y=f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=0的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，根據條件建立方程組關系即可得到結論；
（2）確定函數的單調性，極大值，即可求出方程f（x）=0的零點個數．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x³+bx²+cx+d圖象經過（0，2）點，
∴f（0）=2得d=2，
∵在x=-1處的切線為6x-y+7=0，
∴解得y=1，即 切點（-1，1）代入f（x）中得-1+b-c+2=1，即b=c，
切線斜率k=6，即f′（-1）=6，
函數的導數為f′（x）=3x²+2bx+c，即f′（-1）=3-2b+c=6，
解得b=c=-3，
則f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）f（x）=x³-3x²-3x+2=0，
∴f′（x）=3x²-6x-3
當f′（x）=0時，3x²-6x-3=0
∴x²-2x-1=0
∴（x-1）²=2
∴x=1±$\sqrt{2}$
令f′（x）＞0，得x＜1-$\sqrt{2}$或x$＞1+\sqrt{2}$
令f′（x）＜0，得1-$\sqrt{2}$＜x＜1-$\sqrt{2}$，
∴函數的單調增區(qū)間為（-∞，1-$\sqrt{2}$），（1+$\sqrt{2}$，+∞），函數的單調減區(qū)間為（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
∵f（1-$\sqrt{2}$）=-3+4$\sqrt{2}$＜0，∴方程f（x）=0的零點個數為1．

點評 本題主要考查函數解析式的求解，考查函數的零點，求函數的導數，利用導數的幾何意義、單調性是解決本題的關鍵．