直線l：y=kx+1與橢圓C：x2+
y22
=1交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形
OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（如圖）．
（Ⅰ）當(dāng)k=-1時(shí)，求AB的長；
（Ⅱ）當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：（Ⅰ）當(dāng)k=-1時(shí)，直線與橢圓方程聯(lián)立
y=-x+1
2x2+y2=2
，解之可求得A、B的坐標(biāo)，從而可求AB的長；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），則E（
x
2
，
y
2
），聯(lián)立方程組
y=kx+1
2x2+y2=2
，整理得（k2+2）x2+2kx-1=0，利用韋達(dá)定理可得x1+x2=-
2k
k2+2
，y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2
，根據(jù)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，可求點(diǎn)P的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)k=-1時(shí)，
聯(lián)立方程組
y=-x+1
2x2+y2=2
，解之得
x=-
1
3
y=
4
3
或
x=1
y=0
，
即A、B的坐標(biāo)分別為（-
1
3
，
4
3
）、（1，0）．
∴|AB|=
(1+
1
3
)2+(0-
4
3
)2
=
4
2
3
．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），則E（
x
2
，
y
2
）．
聯(lián)立方程組
y=kx+1
2x2+y2=2
，整理得（k2+2）x2+2kx-1=0，
由此得，x1+x2=-
2k
k2+2
，y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2

由點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，有
x=-
2k
k2+2
y=
4
k2+2
，
消去k得2x2+y2-2y=0，這就是點(diǎn)P的軌跡方程．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化
練習(xí)冊系列答案
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已知定點(diǎn)F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：|
PF2
|-|
PF1
|=2，點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．如果|AB|=6
3
．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）若曲線E上存在點(diǎn)C，使
OA
+
OB
=m
OC
，求m的值．

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21、已知圓C：x2+y2-4x+2y+1=0，直線l：y=kx-1．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)直線l過圓心；
（2）是否存在直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為2？如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

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（1）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6．求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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（2011•東城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，
1
4
)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大
1
4
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l：y=kx+1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（Ⅲ）若曲線C上存在關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍．

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直線l：y=kx+1與雙曲線c：3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l的方程；
（2）若A、B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，求直線l的傾斜角的范圍．

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