Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC．

(Ⅰ)求證：PC⊥AB；

(Ⅱ)求直線BC與平面APB所成角的正弦值

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面APB的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD． 　　∵AP＝BP， 　　∴PD⊥AB　　1 　　∵AC＝BC， 　　∴CD⊥AB　　2 　　∵PD∩CD＝D， 　　∴AB⊥平面PCD　　3 　　∵PC∩平面PCD． 　　∴PC⊥AB　　4 　　(Ⅱ)∵AC＝BC，AP＝BP， 　　∴△APC≌△BPC． 　　又PC⊥BC． 　　∴PC⊥BC． 　　又∠ACB＝90°，即AC⊥BC． 　　且AC∩PC＝C， 　　∴BC⊥平面PAC． 　　取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE． 　　∵AB＝BP， 　　∴BE⊥AP． 　　∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影． 　　∴CE⊥AP． 　　∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角　　6 　　在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝， 　　sin∠EBC＝＝　　8 　　(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD， 　　∴平面APB⊥平面PCD． 　　過(guò)C作CH⊥PD，垂足為H． 　　∵平面APB∩平面PCD＝PD， 　　∴CH⊥平面APB． 　　∴CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離　　10 　　由(Ⅰ)知PC⊥AB，又PC⊥AC， 　　且AB∩AC＝A． 　　∴PC⊥平面ABC． 　　CD平面ABC． 　　∴PC⊥CD． 　　在Rt△PCD中，CD＝ 　　∴PC＝ 　　∴CH＝ 　　∴點(diǎn)C到平面APB的距離為　　12 　　解法二： 　　(Ⅰ)∵AC＝BC，AP＝BP， 　　∴△APC≌△BPC． 　　又PC⊥AC． 　　∴PC⊥BC． 　　∵AC∩BC＝C， 　　∴PC⊥平面ABC． 　　∵AB平面ABC， 　　∴PC⊥AB　　4 　　(Ⅱ)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz． 　　則C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)． 　　設(shè)P(0，0，1)． 　　∵|PB|＝|AB|＝2， 　　∴t＝2，P(0，0，2)． 　　取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE． 　　∵|AC|＝|PC|，|AB|＝|BP|， 　　∴CE⊥AP，BE⊥AP． 　　∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角　　6 　　∵E(0，1，1)， 　　∴sin∠EBC＝ 　　∴求直線BC與平面APB所成角的正弦值　　8 　　(Ⅲ)∵AC＝BC＝PC， 　　∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面APB的距離． 　　如(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)第C－xyZ． 　　∵ 　　∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為()． 　　∴ 　　∴點(diǎn)C到平面APB的距離為　　12