精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,∠BCA=90°,AC=BC=2,又知BA1⊥AC1
(1)求證:AC1⊥平面A1BC;
(2)求二面角A-A1B-C的余弦值的大。
分析:(1)根據(jù)題意可知BC⊥AC,而A1D⊥底ABC,所以A1D⊥BC,A1D∩AC=D,從而BC⊥面A1AC,則BC⊥AC1,又因?yàn)锽A1⊥AC1,BA1∩BC=B,
滿足線面垂直的判定定理,從而AC1⊥底A1BC;
(2)設(shè)AC1∩A1C=O,作OE⊥A1B于E,連AE,由(1)所以A1B⊥AE,根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AEO為二面角平面角,在Rt△A1BC中求出OE,AO,AE,從而求出二面角余弦.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)證明:∠BCA=90°得BC⊥AC,因?yàn)锳1D⊥底ABC,
所以A1D⊥BC,A1D∩AC=D,所以BC⊥面A1AC,
所以BC⊥AC1(3分)
因?yàn)锽A1⊥AC1,BA1∩BC=B,
所以AC1⊥底A1BC(1分)
(2)設(shè)AC1∩A1C=O,作OE⊥A1B于E,連AE,由(1)
所以A1B⊥AE,所以∠AEO為二面角平面角,(2分)
在Rt△A1BC中OE=
2
2
,AO=
3
,AE=
14
2

所以cosα=
7
7
,所以二面角余弦
7
7
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及二面角的度量等有關(guān)問題,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三棱柱ABC-A?B?C?所有的棱長均為2,且側(cè)棱與底面垂直,則該三棱柱的體積是
2
3
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點(diǎn),G為△ABC1的重心,則|
CG
|的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東高二第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

已知三棱柱ABC-A´B´C´所有的棱長均為2,且側(cè)棱與底面垂直,則該三棱柱的體積

            

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知三棱柱ABC-A?B?C?所有的棱長均為2,且側(cè)棱與底面垂直,則該三棱柱的體積是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省云浮市高二(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

已知三棱柱ABC-A´B´C´所有的棱長均為2,且側(cè)棱與底面垂直,則該三棱柱的體積是   

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