Question

13．已知$\overrightarrow a=（sinx，cosx），\overrightarrow b=（sinx，sinx），f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的圖象．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式二倍角公式化簡f（x）即可得出結(jié)論；
（II）使用描點法作出圖象即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2（sin²x+sinxcosx）=sin2x+2sin²x=sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
所以f（x）的最小正周期T=π；f（x）的最大值為$\sqrt{2}$+1．
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上列表為

2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{5π}{4}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{3π}{8}$	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{3π}{4}$
sin（2x-$\frac{π}{4}$）	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	-1	0	1	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1	2	1	1-$\sqrt{2}$	1	1+$\sqrt{2}$	2

描點作圖如下：

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．