Question

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）連接，利用中位線得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是先證明，于是得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法二是先證明，得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（3）利用（2）中的結(jié)論平面，結(jié)合等體積法得到
，將問題視為求三棱錐的高.
（1）證明：連接，是的中點(diǎn) ，過點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，，
又面，面，平面；
證法一：連結(jié)，連接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面；
證法二：連接，在直角中，，，，
設(shè)，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（2）知平面，
，，
，
即點(diǎn)到平面的距離為.