Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，1]
分析：求出函數(shù)f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R）的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)是減函數(shù)，故導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)恒為負(fù)，由此不等式解出參數(shù)的取值范圍．
解答：∵f（x）=x³-2x²+ax+1
∴f′（x）=3x²-4x+a
又函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）內(nèi)是減函數(shù)
∴當(dāng)x∈（，1）時(shí)，恒有f′（x）=3x²-4x+a＜0
即a＜-3x²+4x在x∈（，1）時(shí)恒成立
由于令h（x）=-3x²+4x=-3（x-）²+，當(dāng)x∈（，1）有h（x）∈（1，]
判斷知a≤1
故答案為（-∞，1]
點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第二種類型．求解本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，即a＜-3x²+4x在x∈（，1）時(shí)恒成立，易因?yàn)榕袛嗖磺�，得出a≥，此是由邏輯不清造成的，做題時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的嚴(yán)密性，正確性．