Question

8．如圖，以AB為直徑的圓O與以N為圓心，半徑為1的圓一個交點為Q，延長AB至點P，過點P作兩圓的切線，分別切于M，N兩點，已知AB=4．
（1）證明：AN=PN；
（2）求QN的長．

Answer 1

分析 （1）連接ON，BM，分別求出AN，PN，即可證明：AN=PN；
（2）確定cos∠ANQ=-$\frac{1}{4}$，由余弦定理求QN的長．

解答 （1）證明：連接ON，BM，則ON⊥PN，BM⊥PN．
∵ON=2，BM=1，OB=2，
∴∠PON=PBM=60°，
∴PN=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
同時∠AON=120°，OA=ON=2，
∴AN=2$\sqrt{3}$，
∴AN=PN；
（2）解：∵△ABQ為直角三角形，
∴AQ=$\sqrt{A{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{15}$，cos∠ABQ=$\frac{1}{4}$．
∵A，B，Q，N四點共圓，
∴cos∠ANQ=-$\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得15=12+QN²-2×$2\sqrt{3}QN×（-\frac{1}{4}）$，
∴QN=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查圓中相等線段的證明，考查余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．