Question

已知函數(shù)y=

4-x2

+

2x-2

的定義域?yàn)镸，
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，求函數(shù)f（x）=2（log₂x）²+alog₂x的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)y=

4-x2

+

2x-2

有意義知

4-x2≥0 2x-2≥0

；從而求M；
（2）換元法令t=log₂x，t∈[0，1]；從而可得g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，對稱軸t=-

a

4

；從而討論對稱軸以確定函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)y=

4-x2

+

2x-2

有意義，
故

4-x2≥0 2x-2≥0

；
解得，x∈[1，2]；
故M=[1，2]．
（2）f(x)=2log22x+alog2x，令t=log₂x，t∈[0，1]；
可得：g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，
對稱軸t=-

a

4

；
當(dāng)-

a

4

≤

1

2

，即a≥-2時(shí)，
g（1）=2+a≥0，g（0）=0；
g_max（t）=g（1）=2+a；
當(dāng)-

a

4

＞

1

2

，即a＜-2時(shí)，
g_max（t）=g（0）=0；
綜上可得：f(x)max=

2+a，a≥-2 0，a＜-2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域的求法及換元法求函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．