Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）令cn＝，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求證:

Answer 1

【答案】（1）bn＝3n＋1；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出首項(xiàng)和公比，這可直接用首項(xiàng) 和公比 表示出已知并解出即可（可先把已知化簡(jiǎn)后再代入）；（2）求出 的表達(dá)式后，用錯(cuò)位相減法求其前 項(xiàng)和，然后求其最小值即可得結(jié)論.

試題解析：(1) 由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，也符合上式，所以an＝6n＋5.

設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由即解得

所以bn＝3n＋1.

(2) 由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，

兩式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]

＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，

所以Tn＝3n·2n＋2.

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.