Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若，試討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，都存在，使得，求滿(mǎn)足條件的正整數(shù)的取值的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）去絕對(duì)值號(hào)后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，去絕對(duì)值號(hào)后即可求解；（3）分析題意可知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)的值域是的子集，從而即可建立關(guān)于的不等式，即可求解．

試題解析：（1）當(dāng)，時(shí)，，從而，而，，∴函數(shù)，的圖象在處的切線方程為：，即；（2）即為，∴，從而，此方程等價(jià)于或或，

∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，；

當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，，；

當(dāng)時(shí)，方程）有兩個(gè)不同的解，；

（3）當(dāng)，時(shí)，，，

∴函數(shù)在是增函數(shù)，且，

∴當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，

∵對(duì)任意的，都存在，使得，

∴，從而，

∴，即，即，

∵，顯然滿(mǎn)足，而時(shí)，均不滿(mǎn)足，

∴滿(mǎn)足條件的正整數(shù)的取值的集合為．