Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（Ⅰ）若過定點（-2，0）的直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若過定點（-1，0）且傾斜角為

π

6

的直線l與圓C相交于A，B兩點，求線段AB的中點P的坐標；
（Ⅲ）問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為EF，且以EF為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，請寫出求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線x=-2與⊙C相切，因此直線x=-2是圓的一條切線；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k（x+2），則圓心C到切線l的距離d=r．利用點到直線的距離公式得出k即可；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過定點（-1，0）且傾斜角為

π

6

的直線l方程為：y=

3

3

(x+1)．與圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點坐標公式即可得出；
（III）假設(shè)存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為EF，且以EF為直徑的圓經(jīng)過原點．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為y=x+m．與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由于直線l與圓相交于不同兩點，可得△＞0，（*）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，解得m再代入（*）驗證即可．

解答：解：（I）圓C：（x-1）²+（y+2）²=9．得到圓心C（1，-2），半徑r=3．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線x=-2與⊙C相切，因此直線x=-2是圓的一條切線；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k（x+2），則圓心C到切線l的距離d=r．
∴

|k+2+2k|

1+k2

=3，解得k=

5

12

．
∴切線l的方程為y=

5

12

(x+2)，即5x-12y+10=0．
綜上可知：切線l的方程為x=-2或5x-12y+10=0．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
過定點（-1，0）且傾斜角為

π

6

的直線l方程為：y=

3

3

(x+1)．
聯(lián)立

y= 3 3 (x+1) x2+y2-2x+4y-4=0

化為4x2+(4

3

-4)x+4

3

-11=0，
∴x₁+x₂=1-

3

，
∴xP=

x1+x2

2

=

1- 3

2

，yP=

3

3

(

1- 3

2

+1)=

3 -1

2

．
∴P(

1- 3

2

，

3 -1

2

)．
（III）假設(shè)存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為EF，且以EF為直徑的圓經(jīng)過原點．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為y=x+m．聯(lián)立

y=x+m x2+y2-2x+4y-4=0

，化為2x²+（2+2m）x+m²+4m-4=0．
∵直線l與圓相交于不同兩點，∴△=（2+2m）²-8（m²+4m-4）＞0，化為m²+6m-9＜0．（*）
∴x₁+x₂=-（1+m），x1x2=

m2+4m-4

2

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m²+4m-4-m（1+m）+m²=0，
解得m=-4或1，經(jīng)驗證滿足（*）．
∴存在斜率為1的直線l：y=x-4或y=x+1滿足題意．

點評：本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△與0的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、圓的切線的性質(zhì)、數(shù)量積運算與向量垂直的關(guān)系、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．