Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用ρ²=x²+y²=4可得⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程4，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t可得直線l的普通方程．
（2）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入⊙C的方程可得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其參數(shù)的意義可得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=-$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）由ρ=4可得⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+y²=4，
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t可得：直線l的普通方程：$x-\sqrt{3}y$+2$\sqrt{3}$-1=0．
（2）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入⊙C的方程可得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t+1=0，
∴t₁+t₂=-（2+$\sqrt{3}$），t₁t₂=1．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=-$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$2+\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．