Question

已知焦點(diǎn)在y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2),以C₁上一點(diǎn)C₂為圓心的圓過(guò)定點(diǎn)A(0,1),記為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),記,,求的最大值．

Answer 1

(1）x²="2y" ；(2)定值2；(3）

試題分析：(1)由焦點(diǎn)在y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線假設(shè)為，又C₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2)，即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.
(2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫(xiě)出圓的方程，再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩坐標(biāo)的差即可得到結(jié)論.
(3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由(1)可得M,N的坐標(biāo)（其中用圓心的坐標(biāo)表示）.根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式即可用圓心的坐標(biāo)表示m,n的值，將適當(dāng)變形，再根據(jù)基本不等式即可求得的最大值.
(1)由已知,設(shè)拋物線方程為x²=2py,2²=2p×2,解得p=1.
所求拋物線C₁的方程為x²=2y.-------3分
(2)法1：設(shè)圓心C₂(a,a²/2),則圓C₂的半徑r=
圓C₂的方程為.
令y=0,得x²－2ax+a²－1=0,得x₁=a－1,x₂=a+1.
|MN|=|x₁－x₂|=2(定值).------7分
法2：設(shè)圓心C₂(a,b),因?yàn)閳A過(guò)A(0,1),所以半徑r=,
,因?yàn)镃₂在拋物線上,a²=2b,且圓被x軸截得的弦長(zhǎng)
|MN|=(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨設(shè)M(a-1,0),N(a+1,0),