Question

4．設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個頂點拋物線${x^2}=4\sqrt{3}y$的焦點重合，F(xiàn)₁與F₂分別是該橢圓的左右焦點，離心率$e=\frac{1}{2}$，且過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M．N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，其中O為坐標原點，求直線l的方程；
（Ⅲ）若AB橢圓C經(jīng)過原點O的弦，且MN∥AB，判斷$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$是否為定值？若是定值，請求出，若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點，得到橢圓的一個頂點，利用離心率求解a，然后求出橢圓方程．
（Ⅱ）當直線的l斜率不存在時，驗證即可；當直線的l斜率不存在時，設直線l的方程式y(tǒng)=k（x-1）（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），通過$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.⇒（4{k^2}+3）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，利用韋達定理，通過$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，求出直線的斜率，得到直線方程．
（Ⅲ）當直線l的斜率存在時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）求出|MN|，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，利用弦長公式求出|AB|，然后化簡$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$即可推出結論．

解答 解：（Ⅰ）因為${x^2}=4\sqrt{3}y$得焦點為$（0，\sqrt{3}）$
所以橢圓的一個頂點為$（0，\sqrt{3}）$，
所以$b=\sqrt{3}，\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⇒a=2$
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
（Ⅱ）當直線的l斜率不存在時，$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≠-2$，
當直線的l斜率存在時，
設直線l的方程式y(tǒng)=k（x-1）（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.⇒（4{k^2}+3）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$
則△=144（k²+1）＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{k^2}[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1]$
=$\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+{k^2}（\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+1）=\frac{{-5{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$
因為$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，
所以$k=±\sqrt{2}$．
所以直線l的方程式$y=±\sqrt{2}（x-1）$，
即$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}=0$，或$\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}=0$；
（Ⅲ）當直線l的斜率存在時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{144（{k^2}+1）}}}{{4{k^2}+3}}=\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得${x^2}=\frac{12}{{4{k^2}+3}}$
所以$|AB{|^2}=（1+{k^2}）{（{x_3}-{x_4}）^2}=\frac{{48（1+{k^2}）}}{{4{k^2}+3}}$，
所以$\frac{{|AB{|^2}}}{|MN|}=\frac{{\frac{{48（1+{k^2}）}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}}}=4$是定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關系的綜合應用，定值問題的解決方法，注意分類討論思想的應用．