11.已知曲線${C_1}:{y^2}=tx(y>0,t>0)$在點$M(\frac{4}{t},2)$處的切線${C_2}:y={e^{x+1}}+1$與曲線也相切,則t的值為( 。
A.4eB.4e2C.$\frac{e^2}{4}$D.$\frac{e}{4}$

分析 求出y=$\sqrt{tx}$的導(dǎo)數(shù),求出斜率,由點斜式方程可得切線的方程,設(shè)直線與C2的切點為(m,n),求出y=ex+1+1的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,得到t的方程,解方程可得答案.

解答 解:由曲線C1:y2=tx(y>0,t>0),得y=$\sqrt{tx}$,
y′=$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{x}}$,
∴C1在點$M(\frac{4}{t},2)$處的切線斜率為$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{t}}}=\frac{t}{4}$,
可得切線方程為y-2=$\frac{t}{4}$(x-$\frac{4}{t}$),即y=$\frac{t}{4}$x+1,
設(shè)直線與C2的切點為(m,n),由C2:y=ex+1+1,
得y′=ex+1,∴em+1=$\frac{t}{4}$,
∴m=ln$\frac{t}{4}$-1,n=m•$\frac{t}{4}$+1,n=em+1+1,
可得(ln$\frac{t}{4}$-1)•$\frac{t}{4}$+1=$\frac{t}{4}$+1,
得t=4e2,
故選:B.

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,正確求導(dǎo)和運(yùn)用點斜式方程是解題的關(guān)鍵,注意轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,是中檔題.

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