Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=y$，則得到函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）對(duì)于任意a∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫(huà)出圖形，建立直角坐標(biāo)系，即得y=f（x）的解析式，代值計(jì)算即可
（Ⅱ）通過(guò)分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．

解答 解：（1）如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$，（0≤x≤1）．
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$+x$\overrightarrow{AD}$=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），
∴$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$=（0，a）-（x-2，xa）=（2-x，a-xa）
∴y=f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-xa）•（2-x，a-xa）
=（2-x）²-ax（a-xa）
=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
∴f（1）=a²+1-（4+a²）+4=1
（Ⅱ）由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可知：對(duì)稱軸x₀=$\frac{4+{a}^{2}}{2（{a}^{2}+1）}$．
當(dāng)0＜a≤$\sqrt{2}$時(shí)，1＜x₀，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值4．
當(dāng)a＞$\sqrt{2}$時(shí)，0＜x₀＜1，函數(shù)f（x）在[0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，1]上單調(diào)遞增．
又f（0）=4，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（0）=4．
綜上所述函數(shù)f（x）的最大值為4

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、分類(lèi)討論、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．