設(shè)函數(shù)f（x）=3ax2-2（a+c）x+c，（a＞c＞0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？
分析：（I）由題意可得：二次函數(shù)的對稱軸為x=
a+c
3a
，由條件可得：2a＞a+c，所以x=
a+c
3a
＜
2a
3a
=
2
3
＜1，進(jìn)而得到答案．
（II）二次函數(shù)的對稱軸是x=
a+c
3a
，因?yàn)閒（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f(
a+c
3a
)=-
a2+c2-ac
3a
=-
(a-c)2+ac
3a
＜0，根據(jù)根的存在性定理即可得到答案．
解答：解：（I）因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的圖象的對稱軸x=
a+c
3a
，
因?yàn)橛蓷l件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=
a+c
3a
＜
2a
3a
=
2
3
＜1，
所以二次函數(shù)f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，+∞）的左邊，且拋物線的開口向上，
所以f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)．
（II）由（I）可得：二次函數(shù)f（x）=3ax2-2（a+c）x+c圖象的對稱軸是x=
a+c
3a
．
因?yàn)閒（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f(
a+c
3a
)=-
a2+c2-ac
3a
=-
(a-c)2+ac
3a
＜0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，
a+c
3a
)和(
a+c
3a
，1)內(nèi)分別有一零點(diǎn)．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及根的存在性定理．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b的圖象關(guān)于y軸對稱，它的定義域?yàn)閇a-1，2a]（a、b∈R），求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•東城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1 )＞1 ，  f(2)=
3a-4
a+1
，則a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上以3為周期的奇函數(shù)，若f（1）＞1，f（2）=
2a-3
a+1
，則 a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f-1（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=loga（x-a），h（x）=f-1（x）+g（x），如果當(dāng)x∈[a+2，+∞）時(shí)，h（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波二模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax2-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的值，使得函數(shù)f（x）同時(shí)具備如下的兩個(gè)性質(zhì)：
①對于任意實(shí)數(shù)x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，
f(x1)+f(x2)
2
＜f(
x1+x2
2
)恒成立；
②對于任意實(shí)數(shù)x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)恒成立．

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