Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷曲線C₁與曲線C₂的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\sqrt{2}$，利用互化公式公式化為直角坐標(biāo)方程．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C₁到直線C₂的距離d，與r比較即可得出位置關(guān)系．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），
消去參數(shù)可得普通方程：（x-2）²+（y-1）²=1，可得圓心C₁（2，1），半徑r=1．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\sqrt{2}$，化為：x+y-2=0．
（2）圓心C₁到直線C₂的距離d=$\frac{|2+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=r，
∴曲線C₁與曲線C₂的位置關(guān)系是相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．