Question

16．已知直線l：y=kx（k＞0），圓C₁：（x-1）²+y²=1與C₂：（x-3）²+y²=1，若直線l被圓C₁，C₂所截得兩弦的長度之比是3，則實數(shù)k=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 分別求出弦長，利用直線l被圓C₁，C₂所截得兩弦的長度之比是3，建立方程，即可求出實數(shù)k．

解答 解：由題意，圓C₁：（x-1）²+y²=1的圓心（1，0）到直線l：y=kx（k＞0）的距離=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
弦長為2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
圓C₂：（x-3）²+y²=1的圓心（3，0）到直線l：y=kx（k＞0）的距離=$\frac{3k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
弦長為2$\sqrt{1-\frac{9{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{1-8{k}^{2}}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直線l被圓C₁，C₂所截得兩弦的長度之比是3，
∴$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3×$\frac{2\sqrt{1-8{k}^{2}}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴k=$±\frac{1}{3}$．
∵k＞0
∴k=$\frac{1}{3}$
故答案為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質和點到直線的距離公式的合理運用．