Question

某中學(xué)從高中三個年級選派4名教師和20名學(xué)生去當文明交通宣傳志愿者，20名學(xué)生的名額分配為高一12人，高二6人，高三2人．
（Ⅰ）若從20名學(xué)生中選出3人做為組長，求他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率；
（Ⅱ）若將4名教師隨機安排到三個年級（假設(shè)每名教師加入各年級是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨立的），記安排到高一年級的教師人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率,排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率計算公式能求出從20名學(xué)生中選出3人做為組長，恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率．
（Ⅱ）X的所有取為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生”為事件A，
則P（A）=

C 1 12 C 2 8

C 3 20

=

28

95

．
∴從20名學(xué)生中選出3人做為組長，恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率為

28

95

．
（Ⅱ）X的所有取為0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 4

(

2

3

)4=

16

81

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

3

)4=

1

81

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．