如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形．PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若N為線段PA上一點(diǎn)，且PN=NE，求AN的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求直線PA和BE所成角的余弦值．
分析：（Ⅰ）由題意可得AC=2
2
，PC=2
3
，tan∠APC=
AC
PA
=
2
，故有cos∠APC=
3
3
．再根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系可得cos∠APC=
3
2
2-AN
=
3
3
，
由此求得AN的值．．
（Ⅱ）取AC和BD的交點(diǎn)O，可得∠BEO即為直線PA和BE所成的角．在直角三角形BEO中，求得tan∠BEO=
BO
EO
 的值，可得∠BEO的值，即為所求．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得AC=2
2
，PC=
PA2+AC2
=2
3
，tan∠APC=
AC
PA
=
2
2
2
=
2
，
∴sin∠APC=
6
3
，cos∠APC=
3
3
．
再取PE的中點(diǎn)F，則由PN=NE可得NF⊥PC，PF=
PC
4
=
3
2
，故有 cos∠APC=
PF
PN
=
3
2
2-AN
=
3
3
．
解得 AN=
1
2
．
（Ⅱ）取AC和BD的交點(diǎn)O，則EO為△PAC的中位線，故有EO平行且等于
1
2
PA．
再由PA⊥平面ABCD，可得EO⊥平面ABCD平面，
故∠BEO即為直線PA和BE所成的角．
在直角三角形BEO中，tan∠BEO=
BO
EO
=
2
1
=
2
，
 故直線PA和BE所成的角為arctan
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，求異面直線所成的角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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