Question

18．在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a²_n+1=p（n≥1，n∈N*，p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
①若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_n²}是等差數(shù)列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
③若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_kn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列．
其中真命題的序號為①②③（將所有真命題的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①利用“等方差數(shù)列”的定義，可知{a_n+1²-a_n²=-p，再利用等差數(shù)列的定義可判斷{a_n²}是等差數(shù)列，即①正確；
②由（-1）²ⁿ-（-1）^2（n+1）=0可判斷出{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列，即②正確；
③若{a_n}是等方差數(shù)列，利用累加法可判斷出數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列，即③正確．

解答 解：對于①，因為a_n²-a²_n+1=p，所以a_n+1²-a_n²=-p，于是數(shù)列{a_n²}為等差數(shù)列，故①正確，
對于②，因為（-1）²ⁿ-（-1）^2（n+1）=0為常數(shù)，于是數(shù)列{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列，故②正確；
對于③，因為${{a}_{kn}}^{2}$-${{a}_{kn+k}}^{2}$=（${{a}_{kn}}^{2}$-${{a}_{kn+1}}^{2}$）+（${{a}_{kn+1}}^{2}$-${{a}_{kn+2}}^{2}$）+（${{a}_{kn+2}}^{2}$-${{a}_{kn+3}}^{2}$）+…+（${{a}_{kn+k-1}}^{2}$-${{a}_{kn+k}}^{2}$）=kp，則{a_kn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查對新定義“等方差數(shù)列”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．