Question

6．已知函數(shù)f（x）=4x+ax²-$\frac{2}{3}$x³（x∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤x-$\frac{2}{x}$在[1，+∞）恒成立令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=4x+x²-$\frac{2}{3}$x³，
f′（x）=4+2x-2x²，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，2）遞增，在（2，+∞）遞減；
（2）f′（x）=4+2ax-2x²，
若f（x）在[1，+∞）遞減，
則2ax≤2x²-4即a≤x-$\frac{2}{x}$在[1，+∞）恒成立，
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，+∞），
則g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
則g（x）在[1，+∞）遞增，
g（x）≥g（1）=-1，
故a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．