Question

7．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系（兩坐標(biāo)系取相同的長度單位），曲線C：x²+y²=4在坐標(biāo)伸縮變換ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，作用下變?yōu)榍�線C₁．
（1）求直線l的傾斜角α和曲線C₁的方程；
（2）判斷直線l和曲線C₁是否相交．若相交，求出弦長；若不相交，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)；伸縮變換ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線C即可得出．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出，再利用兩點之間的距離公式即可得出弦長．

解答 解：（1）直線l的方程為ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，展開化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴直角坐標(biāo)方程為：x-y=1，即y=x-1，∴tanα=1，解得$α=\frac{π}{4}$．
曲線C：x²+y²=4在坐標(biāo)伸縮變換ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，作用下變?yōu)榍�線C₁：（x′）²+（2y′）²=4，化為$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}+（{y}^{′}）^{2}$=1．
∴直線l的傾斜角$α=\frac{π}{4}$，曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為5x²-8x=0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴直線l和曲線C₁相交．弦長=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（-1-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．