Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過點(diǎn)P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$作圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ） ①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿足$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，試判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、過點(diǎn)P作圓的切線，求得一條切線為x=1，由OP⊥AB，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得AB的斜率，進(jìn)而得到直線AB的方程；
方法二、求得以O(shè)P為直徑的圓的方程，聯(lián)立已知圓的方程，相減 即可得到所求直線AB的方程；
（Ⅱ）①求得橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得出m與k的關(guān)系，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，從而得出答案．

解答 解：（Ⅰ）方法一：過點(diǎn)P作圓的切線，
由題意，其中一條切線方程為：x=1，∴A（1，0），
由題意得，OP⊥AB，∵${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴${k_{AB}}=-\sqrt{3}$，
所以直線AB的方程為：$y=-\sqrt{3}（x-1）$，
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$；
方法二：以O(shè)P為直徑的圓的方程為：$x（x-1）+y（y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=0$，
即${x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0$，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y=0}\\{{x^2}+{y^2}-1=0}\end{array}}\right.$，
兩式相減，得到直線AB的方程為：$x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}y-1=0$，
即$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$；
（Ⅱ）①令$y=0，x=1；x=0，y=\sqrt{3}$，
∴右焦點(diǎn)為F（1，0），上頂點(diǎn)為$（0，\sqrt{3}）$，
即$c=1，b=\sqrt{3}∴a=2$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，又橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0）
∴$\overrightarrow{DM}=（{x_1}-2，{y_1}-2），\overrightarrow{DN}=（{x_2}-2，{y_2}-2）$
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=（{x_1}-2，{y_1}）•（{x_2}-2，{y_2}）=0$，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{16mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0．
化為7m²+16mk+4k²=0，
解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且滿足3+4k²-m²＞0．
當(dāng)m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-$\frac{2k}{7}$時，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直線過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）．
綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{7}$，0）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．