Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，

平面，，分別是的中點．

（1）證明：；

（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

(1）詳見解析;(2）.

【解析】

試題分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結論．

（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由（1）的結論，我們進而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值.

（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以．

又，因此．

因為平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以． 5分

（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以

，

，

所以． 8分

設平面的一法向量為，

則因此

取，則，

因為，，，所以平面，

故為平面的一法向量．

又，所以． 10分

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為． 12分.

考點：1.平面與平面之間的位置關系；2.空間中直線與直線之間的位置關系.