【題目】已知函數(shù) 為偶函數(shù),且函數(shù)的y=f(x)圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為 .
(1)求 的值;
(2)將y=f(x)的圖象向右平移 個單位后,再將所得的圖象上個點的橫坐標伸長為原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求y=g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在 上的最值.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ﹣ ),…1分
因為函數(shù)是偶函數(shù),
所以φ﹣ =kπ+ ,k∈Z,解得:φ=kπ+ ,k∈Z,
∵﹣ <φ<0,
∴φ=﹣ .
函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 ,
所以T=π,T= =π,所以ω=2;
f(x)=2sin(2x﹣ )=﹣2cos2x,…5分
則f( )=﹣2cos(2× )=﹣2cos( ﹣ )=﹣
(2)解:由函數(shù)圖象的變換可知,y=g(x)=﹣2cos( x﹣ ),
由2kπ≤ x﹣ ≤2kπ+π,k∈Z,解得:4kπ+ ≤x≤4kπ+ ,k∈Z,
即函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[4kπ+ ,4kπ+ ]k∈Z,
由2kπ+π≤ x﹣ ≤2kπ+2π,k∈Z,解得:4kπ+ ≤x≤4kπ+ ,k∈Z,
即函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[4kπ+ ,4kπ+ ]k∈Z,
∵x∈ ,
∴結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知:
當 x﹣ =0,即x= 時,y=g(x)最小值為﹣2
當 x﹣ =﹣ ,即x=﹣ 時,y=g(x)最大值為0
【解析】(1)通過兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式,求出函數(shù)的周期,利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ,然后求解 的值.(2)由函數(shù)圖象的變換可求g(x)=﹣2cos( x﹣ ),利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求y=g(x)的單調(diào)區(qū)間,由x∈ ,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求最大值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識,掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|< ,ω>0)的圖象如圖所示,函數(shù)f(x)=g(x)+ cos2x﹣ sin2x
(1)如果 ,且g(x1)=g(x2),求g(x1+x2)的值;
(2)當﹣ ≤x≤ 時,求函數(shù)f(x)的最大值、最小值及相應(yīng)的x值;
(3)已知方程f(x)﹣k=0在 上只有一解,則k的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,E,F(xiàn),G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.求證:平面EFG⊥平面EMN.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大。
(1) 與 ;
(2)3 與3.1 ;
(3) 與 ;
(4)0.20.6與0.30.4.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 bcosA=asinB.
(1)求角A的大;
(2)若a=6,△ABC的面積是9 ,求三角形邊b,c的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c的對稱軸為x=1,g(x)=x+ (x>0).
(1)求函數(shù)g(x)的最小值及取得最小值時x的值;
(2)試確定c的取值范圍,使g(x)﹣f(x)=0至少有一個實根;
(3)若F(x)=﹣f(x)+4x+c,存在實數(shù)t,對任意x∈[1,m],使F(x+t)≤3x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC點,F(xiàn)棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱錐D﹣ABC的體積;
(2)求證:AC⊥平面DEF;
(3)若M為DB中點,N在棱AC上,且CN= CA,求證:MN∥平面DEF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)x,y滿足x2+y2﹣4x+6y+4=0,則 的最小值是( )
A.2 +3
B. ﹣3
C. +3
D. ﹣3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.
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