Question

如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求證：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求四面體EBDF的體積；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如圖所示，設(shè)BD∩AC=O，取DE的中點(diǎn)M，連接AM、OM．利用平行四邊形的判定可得四邊形AFEM是平行四邊形，得到AM∥FE．利用三角形的中位線定理可得OM∥BE，利用面面平行的判定可得平面ACM∥平面BFE，利用其性質(zhì)可得AC∥平面BEF．
（II）利用面面垂直的性質(zhì)可得BA是三棱錐B-DEF的高．再利用三棱錐的體積計(jì)算公式V_{三棱錐B-DEF}=

1

3

×BA×S△DEF即可；
（III）連接FO，利用平面ABCD⊥平面ADEF，可得FA⊥平面ABCD．又BD⊥AC，利用三垂線定理可得BD⊥FO．于是∠AOF是二面角F-BD-A的平面角．

解答：（I）證明：如圖所示，設(shè)BD∩AC=O，取DE的中點(diǎn)M，連接AM、OM．
則EM

1

2

DE=AF，又AF∥DE，∴四邊形AFEM是平行四邊形，∴AM∥FE．
又點(diǎn)O是正方形的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，∴DO=OB．
在△BDE中，OM∥BE，
又AM∩MO=M，∴平面ACM∥平面BFE，∴AC∥平面BEF．
（II）∵BA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴BA⊥平面ADEF，即BA是三棱錐B-DEF的高．
又S△DEF=

1

2

AD•DE=

1

2

×2×2=2．
∴V_{三棱錐B-DEF}=

1

3

×BA×S△DEF=

1

3

×2×2=

4

3

．
（III）連接FO，∵FA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴FA⊥平面ABCD．
又BD⊥AC，∴BD⊥FO．
∴∠AOF是二面角F-BD-A的平面角，在Rt△AOF中，FO=

AF2+AO2

=

3

，
∴cos∠AOF=

AO

OF

=

2

3

=

6

3

，即為二面角F-BD-A的平面角的余弦值．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面與面面垂直的判定與性質(zhì)定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、二面角的平面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．