Question

3．已知函數(shù)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（其中x₁＞x₂＞x₃，a＞0），g（x）=4x+sin（3x+1）．若函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)為α、β（β＜α），設(shè)λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，μ=$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，則（　�。�

• A． g（β）＜g（μ）＜g（α）＜g（λ）
• B． g（μ）＜g（β）＜g（λ）＜g（α）
• C． g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
• D． g（β）＜g（μ）＜g（λ）＜g（α）

Answer 1

分析 化簡f（x），求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷α＞λ＞μ＞β，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由于a＞0，設(shè)f（x）=ah（x），即h（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），
由h（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）可得h（x）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴h′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0，
∵△=4（x₁+x₂+x₃）²-12（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=2[（x₁-x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃-x₁）²]，
∵x₁＞x₂＞x₃．∴△＞0，∴方程h′（x）=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
g′（x）=4+3cos（2x+1）＞0，
則g（x）為增函數(shù)，
下面證明α＞$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞β，
由h′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0可得
h′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}$-（x₁+x₂+x₃）（x₁+x₂）+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃-x₁x₂=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$＜0
即h′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=3（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-α）（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-β）＜0，
由α＞β可得β＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜α，
同理可知β＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜α，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，
∴β＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜α，
即α＞λ＞μ＞β，
∵g（x）為增函數(shù)，
∴g（β）＜g（μ）＜g（λ）＜g（α），
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及α＞λ＞μ＞β是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．