【題目】如圖，在正四面體ABCD中， 是的中心， 分別是上的動點(diǎn)，且．

（1）若平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，正四面體ABCD的棱長為，求平面和平面所成的角余弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問主要考查線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，若平面，那么經(jīng)過OE的平面與平面ACD相交，則OE平行于交線，因此需要找到經(jīng)過OE的平面，由是正的中心，易知O為BC的三等分點(diǎn)，因此能確定E點(diǎn)位置；（2）本問主要考查用空間向量求二面角問題，當(dāng)時，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，以O為原點(diǎn)，過O作CD的垂線為x軸，過O作BC的垂線為y軸，OA為z軸，建立空間直角直角坐標(biāo)系，則易得出下列各點(diǎn)坐標(biāo), ,由此求出相關(guān)向量的坐標(biāo),再分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個平面的法向量可以求夾角的余弦，再由圖觀察向量成角的余弦與二面角余弦之間的關(guān)系即可.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接,

∵是正的中心 ∴點(diǎn)在上，且，

∵當(dāng)時，平面 ,

∴∴,即,

∴.

（2）當(dāng)時，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題設(shè)

，則, ,

則,

設(shè)平面的法向量為則,

∴,

不妨令，則，

又平面的一個法向量為.

設(shè)所求二面角為，則.

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【題目】給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

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【題目】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；

③直線AB與a所稱角的最小值為45°；

④直線AB與a所稱角的最小值為60°；

其中正確的是________。（填寫所有正確結(jié)論的編號）

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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入S的值為﹣1，則輸出S的值為（ ）

A.﹣1
B.
C.2
D.3

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【題目】平面內(nèi)給定三個向量 =（3，2）， =（﹣1，2）， =（4，1）．回答下列問題：
（1）若（ +k ）∥（2 ﹣ ），求實(shí)數(shù)k；
（2）設(shè) =（x，y）滿足（ ﹣ ）∥（ + ）且| ﹣ |=1，求 ．

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【題目】通過對某城市一天內(nèi)單次租用共享自行車的時間分鐘到鐘的人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照租車時間， ， ， ， 分組做出頻率分布直方圖，并作出租用時間和莖葉圖（圖中僅列出了時間在， 的數(shù)據(jù)）．

（1）求的頻率分布直方圖中的；

（2）從租用時間在分鐘以上（含分鐘）的人數(shù)中隨機(jī)抽取人，設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的人租用時間在內(nèi)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】函數(shù) 的定義域?yàn)?/span> ， 值域?yàn)?/span> ．

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【題目】對于函數(shù)y=2sin（3x+ ），求出其定義域，值域，最小正周期，以及單調(diào)性．

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【題目】已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（﹣π，0），且| |=| |，求角α的大小；
（2）若 ⊥ ，求 的值．

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