Question

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與P關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)經(jīng)過(guò)及AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)在y軸上的截距b的取值范圍；

（3）若Q是雙曲線(xiàn)C上的任一點(diǎn)，、為雙曲線(xiàn)C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從引的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則，由該直線(xiàn)與圓相切，知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為．由此利用雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，能求出雙曲線(xiàn)的方程．

（2）由，得．令．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．由此能求出直線(xiàn)在軸上的截距的取值范圍．

（3）若在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)到，使，若在雙曲線(xiàn)的左支上，則在上取一點(diǎn)，使．由此能求出點(diǎn)的軌跡方程．

（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則，

該直線(xiàn)與圓相切，

雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為．

故設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為．

又雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，

，．

雙曲線(xiàn)的方程為．

（2）由，得．

令

直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．

因此，解得．

又中點(diǎn)為，

因?yàn)橹本�(xiàn)與軸相交，所以，即，

直線(xiàn)的方程為．

令，得．

，

，

．

（3）若在雙曲線(xiàn)的右支上，

則延長(zhǎng)到，使，

若在雙曲線(xiàn)的左支上，

則在上取一點(diǎn)，使．

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，

所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，

即點(diǎn)的軌跡方程是①

由于點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，

設(shè)，，．

則，即．

代入①并整理得點(diǎn)的軌跡方程為.